Новости Календарь

Как тропическая геометрия спасла Банк Англии

Как тропическая геометрия спасла Банк Англии
До провозглашения имен очередных нобелевских лауреатов по экономике остается две недели. Если бы в прошлом году премия не была вручена за дизайн рынков, то герой этой статьи был бы одним из основных претендентов на награду в этом году. Впрочем, я уверен, что рано или поздно он ее получит, так как редко кому из экономистов удается достичь исключительной репутации как в академических кругах, так и среди практиков. Но давайте обо всем по порядку.

Осень 2007 года ознаменовалась паникой на финансовом рынке Великобритании и «набегом» (bank run) на банк Northern Rock. Чтобы предотвратить эскалацию панических настроений и возможный крах банковской системы страны, Банку Англии нужно было срочно создать механизм распределения ликвидности среди коммерческих банков и строительных сберегательных касс. При ссуживании денег ЦБ был готов принимать в залог не только обычные гособлигации (gilts), но что-то и менее качественное и более рискованное, однако в таком случае и процент с заемщика брался бы солиднее. Иными словами, Банк Англии решил предложить банкам два альтернативных продукта – кредит с низкой ставкой, но требующий безрискового залога, и кредит с высокой ставкой, залогом которого могли служить более рискованные ценные бумаги. Перед ЦБ стояла реальная проблема – сколько кредитов каждого типа выдавать и какие процентные ставки назначать. Руководство Банка принялось за решение этой задачи со рвением и организовало несколько аукционов ликвидности. Однако все они оказались неудачными. Тогда Мервин Кинг, в то время – глава Банка Англии, вспомнил про Пола Клемперера, оксфордского профессора и специалиста по теории аукционов, и набрал его номер...

Клемперер – английский представитель старейшей фамильной династии немецких евреев, из которой вышло немало известных инженеров, физиков, химиков, актеров, композиторов, историков, архитекторов и, разумеется, банкиров. Однако настоящих экономистов до Пола династия не знала. Мое знакомство с профессором началось 14 лет назад, когда Клемперер возглавлял магистерскую программу в старейшем университете англосаксонского мира. Уже тогда профессор проявлял интерес к банкам.

Как-то ранним февральским утром 2000 года я решил отметить свой день рождения пропуском очередной лекции по теории аукционов. Как оказалось, зря. На том занятии Клемперер традиционно проводил одни нетривиальные торги – и профессор, и студенты делали ставки по хитрой схеме и опускали деньги в стеклянную банку. Призом победителю служила сама банка с деньгами, а выигрывал, как оказалось, тот, чей день рождения был наиболее близок к дате проведения аукциона. Не стоит объяснять, что, пропустив лекцию, я упустил стопроцентный шанс поправить свой нехитрый студенческий бюджет!

В Банке Англии, однако, ставки были гораздо круче: в банковский сектор страны ЦБ собирался влить аж 100 млрд фунтов! На самом деле проблема, стоявшая перед регулятором, была классической: организация аукциона похожих, но неидентичных продуктов. Экономическая теория гласит, что в таких случаях лучше организовать один многораундовый аукцион, где все продукты продаются одновременно, чем серию параллельных  многораундовых аукционов для каждого продукта отдельного типа. В равновесии и в том, и в другом случае получаются почти идентичные цены. Однако выгоден именно единый аукцион, поскольку он позволяет аукционисту лучше учесть свои предпочтения по распределению продуктов между претендентами, и вдобавок такой аукцион более устойчив в свете возможного сговора претендентов или их хищнического поведения. Очевидно также, что проведение одного аукциона намного быстрее, чем проведение нескольких.

Клемперер как раз занимался такими аукционами уже тогда, когда разыгрывал с моей университетской группой банку с деньгами. В марте – апреле 2000 года вместе с Кеном Бинмором, математиком, экономистом и профессором Университетского колледжа в Лондоне, он помог британскому правительству организовать аукцион лицензий на частоты мобильной связи третьего поколения (3G). В результате аукциона правительство выручило 22,5 млрд фунтов, что составило 2,5% от ВНП. Это был величайший на тот момент аукцион в истории или, по крайне мере, как писали авторы, со времени продажи Преторианской гвардией римского императорского престола Юлиану Дидию в 195 г. н.э. 

Из-за сложности многоэтапного процесса и его организации аукционирование пяти телеком-лицензий заняло семь недель. В случае же с аукционированием кредита задача была сложнее, так как Банк Англии собирался принять огромное количество ставок от большого числа различных банков, затем совместить ставки-банки в оптимальные пары и найти одно агрегированное решение. В ситуации, когда «кровь течет по улицам», как любили говорить в Сити, все обеспокоены возможной паникой и набегами на нуждающиеся банки, счет идет на секунды, а не недели. Возник логичный вопрос – как сжать весь процесс подачи заявок на кредиты под залог различных финансовых активов и процесс определения оптимальной ставки процента по таким кредитам в небольшой период времени?

К счастью, Клемперер достаточно быстро нашел решение. Надо, решил он, попросить банки, делающие ставки, рассказать что-то о своих предпочтениях. Если инженер процесса будет знать о предпочтениях банков достаточно много, то он сможет разработать эффективную процедуру многораундового аукциона. Тогда можно будет встроить предпочтения в компьютерную программу, описывающую систему представления ставок и распределения кредитов. Затем программа просимулирует развитие возможных ситуаций и покажет инженеру, что могло бы получиться, если аукцион проводился как семинедельный процесс.

Однако как вытянуть из банков сведения об их предпочтениях? Это было похоже на решение следующей задачи. Представьте, что у вас есть блюдо с различными фруктами – апельсинами, бананами, яблоками, виноградом и грейпфрутами. Вам надо распределить эти фрукты наиболее эффективным образом между различными людьми, учитывая предпочтения последних, о которых вы почти не имеете представления. Сделать это нужно в рамках одного процесса, таким образом, сравнивая пять различных видов фруктов. Иными словами, с одной стороны, фрукт – он и в Африке фрукт, а с другой – надо работать в пяти различных измерениях, чтобы оптимально отразить компромиссы (tradeoffs) в предпочтениях между пятью различными вещами.

По аналогии с блюдом фруктов вопросы, которые нужно задавать банкам, будут что-то вроде «сколько винограда для вас стоит одно яблоко?». Или, например, «предпочтете ли вы только один данный апельсин, или для вас лучше получить одновременно два апельсина в паре, в случае, если вы выиграете любой из них (так как у вас двое детей, и, принеся домой разные фрукты, вы спровоцируете драку между ними?)».

На практике такие предпочтения можно представить в виде математических графов, то есть совокупности непустого множества вершин и связей между ними. Клемперер любил работать с графами, поскольку серьезно увлекался геометрией с шестнадцатилетнего возраста. Он обнаружил, что геометрия оказывается исключительно полезной для решения многих задач размещения ресурсов, в частности, проблем, подобных тем, что предстала перед Банком Англии или заботит Гордона Рамзи с блюдом фруктов. Вместе с аспиранткой факультета экономики Оксфорда Элизабет Болдуин, прежде защитившей уже докторскую диссертацию по математике, Клемперер решил применить для решения проблемы распределения фруктов – кредитов так называемую тропическую геометрию.

Тропическая геометрия – это область математики, связанная с алгебраической и симплектической геометрией, которая стала активно развиваться лишь 10–15 лет назад. Эта наука манипулирует определенными кусочно-линейными объектами, которые выполняют роль классических алгебраических многообразий (например, поверхностей с особыми точками) в алгебраической геометрии. В силу этой вырожденной, кусочно-линейной природы основных объектов большинство классических математических проблем становится гораздо проще после их «тропиколизации». Это иногда позволяет строить алгоритмы нахождения единственного решения «тропического» аналога задачи, тогда как до тропиколизации задача могла иметь множество решений, то есть не давать однозначного ответа. 

Вначале эта наука возникла в информатике, и название «тропическая» получила как дань бразильской школе – пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона. Однако существенный прорыв тропическая геометрия получила благодаря россиянам: петербуржцу Григорию Михалкину, ныне работающему в Университете штата Юта (США), открывшему ряд приложений теории в перечислительной алгебраической геометрии, а также москвичам Владимиру Данилову и Глебу Кошевому из Центрального экономико-математического института РАН, которые разработали некоторые экономические приложения теории.

Клемперер и Болдуин, однако, вывели приложения тропической геометрии в экономике на совершенно новый уровень (в частности, смотрите их статью 2012 года «Тропическая. геометрия для анализа спроса»). В нашей конкретной истории, начав в пяти измерениях и определив строгие правила, посредством которых можно было трансформировать графы предпочтений – суть кусочно-линейные объекты тропической геометрии, – они, в конце концов, поняли, как построить так называемый аукцион продуктовой смеси (product-mix auction), который и позволил эффективно распределить фрукты с блюда, или денежные средства из Банка Англии.

Успех идеи был ошеломляющим. Вскоре после проведения аукционов на практике один из исполнительных директоров Банка Англии отметил, что механизм распределения ликвидности был «Формулой 1» в мире центрального банкинга. По его словам, это был «потенциально значительный шаг вперед в практической выработке политик для поддержания финансовой стабильности». Более того, после регулярного использования нового дизайна, распределив с его помощью 100 млрд фунтов, Мервин Кинг в интервью журналу The Economist назвал результат «чудесным приложением теоретической экономики к практической проблеме, имеющей жизненно важное значение для финансовых рынков»!

Удивительно, но похожая история повторилась и в 2008 году, но уже по другую сторону океана. После краха банка Lehman Brothers в сентябре того года правительство США инициировало программу (так называемая TARP) покупки «токсичных» финансовых активов у проблемных американских банков. За $700 млрд Казначейство США собиралось выкупить 25 тысяч различных, но похожих финансовых продуктов, в основном ипотечных ценных бумаг класса subprime. Чтобы определить цену бумаг, то есть дисконт по отношению к их номиналу, нужно было придумать определенный механизм выкупа. К решению задачи Казначейство решило привлечь нескольких специалистов, и... у Клемперера снова зазвонил телефон.

Практическая полезность аукциона продуктовой смеси, однако, не исчерпывается рамками распределения ликвидности центральными банками. Пока другие стоят в очереди, Министерство энергетики Великобритании уже задействовало профессора Клемперера в работе над улучшением процессов лицензирования альтернативных видов топлива с учетом их потенциального влияния на изменение климата. Вместе с тем о каком бы практическом приложении мы ни говорили, для Клемперера вопрос всегда заключается в любви к процессу: он стремится понять силы, которые управляют событиями в реальности, чтобы затем привлечь всю силу и красоту математики для моделирования этих сил и управления ими во благо общества.

Прошедшим летом в июльском интервью британской газете Guardian Клемперер заявил, что было бы здорово, если бы правительство страны лучше понимало значение фундаментальных академических исследований, а также то, насколько бесценными могут быть немедленные их приложения в реальной жизни. Подобная ламентация особенно подходит и для нашей страны. Тем более что в истории, о которой я вам поведал, фундаментальные исследования были в области математики, чьи экономические приложения развились именно благодаря существенному вкладу российской математической школы. Сильные специалисты-экономисты по теории аукционов у нас также есть, например Сергей Измалков из московской РЭШ.

Между тем агентство Thomson Reuters уже выставило свой прогноз на нобелевских лауреатов по экономике 2013 года. Одним из наиболее вероятных претендентов называют сэра Девида Хендри, коллегу Клемперера по Оксфорду. О его трудах также можно написать красивую историю – однако, это тема для отдельной статьи. А пока – подождем две недели.

В статье используется материал, опубликованный в октябрьском номере СBonds Review.

Предыдущий материал

Чем ценны работы трех молодых лауреатов Гайдаровской премии

Следующий материал

Как любовь двух мужчин спасала мир от Великой депрессии