Выигрышный номер в лотерее
Juan Medina / REUTERS
«Самая интересная книга о самой скучной науке» – гласит рекламный слоган американского издания, и это чистая правда. Slon публикует отрывок из главы, посвященной теории вероятностей.
Уилан, преподаватель Чикагского университета и в прошлом корреспондент The Economist, превращает большие данные, центральную предельную теорему и регрессионный анализ в невероятно занимательные предметы, давая попутно массу полезных советов (например, в этой главе с точки зрения теории вероятностей описывается, в каких случаях имеет смысл платить за страховку).
В Иллинойсе вероятности, связанные с разными возможными выигрышами в лотерее, напечатаны на оборотной стороне каждого билета. Я купил за 1 доллар один билет мгновенной лотереи. На его оборотной стороне напечатаны – микроскопическим шрифтом – шансы выиграть различные денежные призы или получить еще один такой же билет (бесплатно): 1 шанс из 10 (бесплатный лотерейный билет); 1 шанс из 15 (2 доллара); 1 шанс из 42,86 (4 доллара); 1 шанс из 75 (5 долларов) и т.д. вплоть до 1 шанс из 40 тысяч –1000 долларов. Я подсчитал ожидаемый доход своего билета, сложив все возможные варианты выигрыша денежного приза с весовыми коэффициентами, равными вероятности выигрыша каждого из этих денежных призов. Оказалось, что ожидаемый доход для моего однодолларового лотерейного билета – примерно 0,56 доллара. Таким образом, покупка такого билета – абсолютно бездарный способ потратить доллар. Как назло, я выиграл 2 доллара.
Несмотря на неожиданный выигрыш, я все равно считаю, что покупка билета мгновенной лотереи – абсолютная глупость. Это один из важнейших уроков теории вероятностей. Хорошие решения, если их оценивать вероятностями, которые за ними кроются, в действительности могут оказаться не такими уж хорошими. А плохие решения – например, покупка билета мгновенной лотереи в Иллинойсе – не такими уж плохими, по крайней мере на коротком отрезке времени. Но в конечном счете вероятность все равно торжествует. Важная теорема, известная как закон больших чисел, гласит, что по мере возрастания количества испытаний средний результат исходов все сильнее приближается к его математическому ожиданию. Да, я выиграл 2 доллара, купив сегодня билет мгновенной лотереи. И мог бы еще раз выиграть 2 доллара завтра. Но если я куплю тысячи однодолларовых лотерейных билетов, каждый с ожидаемым доходом 0,56 доллара, то я почти наверняка останусь в проигрыше. К тому времени, когда я потрачу на покупку лотерейных билетов миллион долларов, мой выигрыш составит сумму, очень близкую к 560 тысячам долларов.
Закон больших чисел объясняет, почему в долгосрочном периоде казино всегда выигрывают. Вероятности, связанные со всеми играми, которые практикуются в казино, благоприятствуют последнему (при условии, что казино способно помешать игрокам в блек-джек вычислять карты). Если в течение довольно продолжительного отрезка времени было сделано достаточное количество ставок, то казино обязательно получит больше, чем потеряет.
