Математика отличается прежде всего неопределенностью предмета исследования. Объект, который она изучает, имеет ускользающую природу: вроде бы математика не занимается исследованием реального мира, и в то же время без математики его понимание невозможно. Один из подходов к обоснованию предмета математики получил название математического платонизма. Насколько он плодотворен и полезен с когнитивной точки зрения, рассказал поэт, критик, эссеист и математик Владимир Губайловский, прочитавший 3 декабря лекцию «Математический платонизм» в клубе «Русского журнала».

Вся современная цивилизация – дома, мосты, туннели, дороги, автомобили, самолеты и вообще все, что стоит или движется, – построена на результатах применения аппарата дифференциального исчисления. Но и само дифференциальное исчисление опирается на абстракцию актуальной бесконечности. Почему абстракцию? Потому что актуальная бесконечность, насколько известно науке, в природе не встречается. Можно, конечно, считать, что это просто полезная идеализация, – вроде идеального газа или абсолютно черного тела, но в любом случае абстрактная модель актуальной бесконечности оказывается эффективной. И это заставляет задуматься: а не существует ли в каком-то виде актуальная бесконечность и в самой природе?

Далее – логика, основы который заложены Аристотелем, а развивали Дунс Скот и Оккам, Декарт и Лейбниц, пришла к понятию абстрактной машины Тьюринга, а сегодня все эти наработки реализованы в компьютерной технике. То есть Аристотель в каком-то смысле стоял у истоков цифрового мира, в котором мы живем. Мобильный телефон звонит потому, что о нем думал Аристотель. Как он мог знать хоть что-то о мобильнике? Никак не мог. Тем не менее его вклад в создание базиса очевиден.

А основы теории чисел закладывали Пифагор, Евдокс и Евклид, Ферма и Эйлер, и сегодня опять-таки наш мир немыслим без этой, казалось бы, бесконечно далекой от реальности научной дисциплины – без теории чисел невозможна криптография, а значит, электронные платежи и вся вообще работа банков и фондовых бирж.

Вся современная жизнь построена на математических теориях, зародившихся в Древнем мире. Но при этом математическую науку всегда позиционировали как абстрактную, основанную на символической игре. Однако вышло так, что математика, демонстративно отворачиваясь от реального мира, оказалась на передовой процесса его познания. У математиков была репутация чудаков, ничего не знающих о действительности и ковыряющихся в своих бесконечных формулах. А в современном мире они стали едва ли не самыми влиятельными людьми. Их труды имеют огромное значение как для сегодняшней науки и развития технологий, так и для их будущего, ведь это будет очередным этапом в развитии математики.

Актуальная бесконечность против потенциальной

Существует по крайней мере три разных подхода к тому, что все-таки изучает математика. Один из них – математический платонизм, восходящий, как несложно догадаться, к Платону. Платон считал, что математика занимается геометрическими телами, так как именно они наиболее близки человеку, живущему в предметном мире. С древности люди задавались вопросом устройства Вселенной. Платон выделял четыре стихии, каждой из которых соответствует одно из так называемых платоновых тел – правильных многогранников. Поверхность многогранника представляет собой комбинацию определенного числа многоугольников. Огню соответствует тетраэдр, воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр, земле – гексаэдр. Позднее Аристотель настаивал на существовании пятого элемента, эфира, который решено было соотнести с додекаэдром. Между стихиями, а значит, телами, могут последовательно осуществляться химические реакции, преображающие одну в другую. В платоновской Вселенной все имеет математически совершенную структуру. И что интересно – когда стихии распадаются, они перестают быть телами. Это означает, что в момент реакции тела переходят в чистое идеальное пространство.

Однако в реальном мире никакая чистая платоническая математика существовать не могла – она работала только как идеальная арифметика. На Древнем Востоке, в Индии, в Египте математика тоже основывалась на идеализированных представлениях о числах, точках, прямых и так далее.

Благодаря этому методу зародилось понятие актуальной бесконечности – это типичная абсолютная платоническая сущность. Она получила обоснование в знаменитых апориях Зенона, предложившего первые парадоксы, связанные с понятием бесконечного. Рассуждение Зенона основано на невозможности помыслить завершенную бесконечность. Актуальная бесконечность – условный отрезок, в котором уже сейчас наличествует бесконечное число точек. Суть в том, что это бесконечное число точек теоретически можно сложить и получить конечную величину отрезка.

Зенон пришел к выводу, что отрезок бесконечно делим, и опровергнуть его было практически невозможно, ведь отрезок составляют точки. И тогда вопрос – сколько их? Какого размера эти точки? Но у точек нет размера – следовательно, они – ничто. И сколько мы их ни будем складывать, отрезка не получится. То есть бесконечно малая величина – это точка Зенона.

Но все эти игры разума наш мозг принять не готов. Интуиция говорит: в большем отрезке точек должно быть больше!

Аристотель возразил Зенону: нас вообще не интересует, сколько точек в отрезке, важно другое – как долго все же можно его делить? Он ввел понятие потенциальной бесконечности, действующей в рамках реального мира. Мы делим реальный отрезок так, как нам необходимо, не измышляя, равен ли он любым другим разновеликим отрезкам или нет.

Греческая математика росла, отталкиваясь от реальности. Греки воспринимали мир физически, «руками», у них даже не было нуля – они не понимали, что это такое. Поэтому идея бесконечности была трудна для них. Вследствие этого понятие актуальной бесконечности почти исчезло из размышлений математиков и философов.

Новое время для бесконечности началось с Галилея с его совершенно альтернативным пониманием математических моделей. Прямая – это вовсе не отрезок, продолженный в обе стороны до бесконечности. Напротив, отрезок – кусок бесконечной прямой. Интуиция подсказывала Галилею, что именно с прямой и следует начинать. При Галилее и возродилась идея бесконечности, а в ХХ веке люди нашли ей применение – вся современная цивилизация построена на основе дифференциальных вычислений. А те, в свою очередь, опираются на концепт актуальной бесконечности.

Спасибо Евклиду, навел порядок

Раньше математика вела весьма обособленное существование. Все и без нее понимали, что такое, например, прямая или точка, – интуитивно. Кстати, нам в школе объясняли, что точка – это «прямая, увиденная с торца». Когда мы рисуем на плоскости прямую линию, мы рисуем модель, понимая, что она условна. Линия должна быть идеально прямой, и у нее нет толщины.

Очень долго существовало представление о математике как части физики. Однако математики отошли от физики очень давно, в тот момент, когда родилась евклидова геометрия. Это был переворот в математической науке. Но геометрия Евклида парадоксальным образом не привнесла ничего действительно нового. Как же так?

У Евклида есть замечательное по своей глубине и самокритичности высказывание: «Ничего нового у меня нет. У меня только метод изложения новый».

Действительно, он многое доказал, структурировал существующие знания, но принципиально нового у него мало.

В тот момент, когда математик что-то доказывает, мы получаем утверждение о бесконечном количестве объектов. То есть, доказывая теорему Пифагора, мы подразумеваем бесконечное количество случаев ее применения. И геометрия Евклида универсальна – он доказывал общие случаи.

Евклид сформулировал пять постулатов:

от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; прямую можно непрерывно продолжать по прямой;. из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; все прямые углы равны между собой.

Очевидные вещи! Но никто прежде не выражал их так просто. Они облегчили понимание математики и стали ядром геометрии. Пятый же постулат анекдотически запутанный:

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

На самом деле речь идет о простой вещи, и на современном языке пятый постулат Евклида можно выразить так: если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, меньше 180 градусов, то эти прямые пересекаются, да еще и по ту же сторону от секущей.

Итак, евклидова геометрия привела математику в порядок. Что произошло: у людей было о ней сначала интуитивное представление, потом появился математический платонизм, мыслящий абстракциями, – оба этапа делали математику эмпирической наукой. Теперь математика сделалась упорядоченным предметом – она стала рациональной. Но абстрактные платонические измышления древних философов тоже оказались нужны.

Если бы компьютеры могли

Сегодня у нас есть компьютер – он способен работать только с рациональными числами, причем они должны быть конечны.


Мы не можем потребовать у компьютера вычислить точный корень из двух, так в его программе задано максимальное количество цифр после запятой. Их может быть 10, 20, 30, но бесконечное число мы не получим. То есть на самом деле сегодня никакой нужды в бесконечном множестве, в актуальной бесконечности просто нет. В нашем мире бесконечные вычисления не нужны.

Сегодня математика занимается либо очень простыми, но конкретными вещами: даже если нужно решить множество дифференциальных уравнений, это все же простые вещи в сравнении с некоторыми областями и проблемами математики. Либо – вещами очень абстрактными. И здесь человек попадает в ловушку – он не может решить бесконечное множество задач, а абстрактные вещи предполагают именно это. Дальше – дело за машиной. Ведь если бы нам удалось построить конструктивные доказательства бесконечности, передоверить их машине и заставить ее работать с высоко абстрактными объектами… в математике произошла бы революция.